Exercícios de logaritmo com gabarito

Atividade - EJA - Colégio São Paulo

Pessoal, desculpem-me pela demora, mas houve um erro de configuração na hora de postar a atividade. Segue lista com reforço das orientações:

1) Fazer cabeçalho, no início da atividade, com nome e data da da entrega (28/11/2014);

2) colocar apenas a resolução de cada exercício - é desnecessário copiar o enunciado das questões e

3) escrever a lápis ou caneta com tinta azul ou preta.

Equações do 1º grau

1) Resolva as equações a seguir:

a)18x - 43 = 65                                                               (R: x = 6)

b) 23x - 16 = 14 - 17x                                                    (R: x = ¾)

c) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) – 20                                 (R: x = 21)

d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x² + 12                                   (R: x = 2)

e) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4                                 (R: x = -21)

f) 2(x + 1) – 3(2x – 5) = 6x – 3                                     (R: x = 2)

g) 3x – 5 = x – 2                                                             (R: x = 3/2)

h) 3x – 5 = 13                                                                (R: x = 6)

i) 3x + 5 = 2                                                                  (R: x = -1)

2) Determine um número real "a" para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam iguais.   (R: a = 22)  

3) O valor numérico da expressão 2x² + 8, para x igual a -3 é:

a) 17

b) 18

c) 26

d) 34

(R: c)

PROBLEMAS SOBRE EQUAÇÕES DO 1º GRAU

1 – O dobro de um número, aumentado de 15, é igual a 49. Qual é esse número?

2 – A soma de um número co o seu triplo é igual a 48. Qual é esse número?

3 – A idade de um pai é igual ao triplo da idade de seu filho. Calcule essas idades, sabendo que juntos têm 60 anos?

Equações do 2° Grau

1) Achar as raízes das equações:

a) x² - x - 20 = 0                                                    (R: x’ = 5 e x’’ = -4)

b) x² - 3x -4 = 0                                                     (R: x’ = 4 e x’’ = -1)

c) x² - 8x + 7 = 0                                                   (R: x’ = 7 e x’’ = 1)

Agradecimento

      Olá, pessoal. Tenho observado que apesar das pouquíssimas postagens que fiz, tenho contado com uma grande audiência. E, por essa razão, gostaria de agradecer o prestígio que vocês têm me dedicado: muito obrigado.

CFB - conteúdo da avaliação de matemática

1 EM - módulos 26 a 30
2 EM - módulos 33 a 36
3 EM - módulos 37 a 40

CFB - respostas do TC - Aula37

A unidade e a fração - existe diferença?

Uma das maiores dificuldades que tenho observado entre os alunos de todas as séries é a de operar com frações. De fato, as operações com frações, do ponto de vista histórico, sempre surgem depois que as operações com números inteiros já foram bem concebidas e estabelecidas. Isso mostra que efetuar as operações aritméticas com os outros tipos de números racionais demanda maior abstração, independentemente do lugar ou época em que se concebe o significado de tais operações.

De qualquer maneira, é importante observar que tanto faz o tipo de número com que se esteja efetuando cálculos aritméticos, as operações jamais se perdem de seus significados, quaisquer que sejam os tipos de números entre que elas se coloquem. Assim, do ponto de vista operacional, tanto faz se os números são inteiros (unidades inteiras) ou não (frações de unidades).

Soma e subtração

Ninguém duvida do fato aritmético de que 1 + 1 seja 2, por exemplo. Mas, mesmo quando muito bem compreendido o significado das frações 1/2 e 1/3, por exemplo, não faltam pessoas que não entendam e também não aceitem o ritual que se emprega para levar a cabo o resultado de alguma operação entre esses dois números (pasmem, muitos dos leitores: as frações 1/2 e 1/3 representam um número cada uma, porquanto representam duas quantidades diferentes). Ainda em tempo, observe o significado de cada uma dessas frações:

A figura anterior disponibiliza ótima ilustração para entender o que ocorre quando queremos efetuar alguma operação aritmética entre as quantidades representadas, que foram citadas apenas – para reiterar – a título de exemplo.

Se, entre os números, existem alguns tipos que são concebidos mais facilmente do que outros, entre as operações não é diferente. A adição é a operação mais fácil de ser concebida, disparada entre as demais. Assim, verificar como proceder com essa operação entre frações torna mais fácil a compreensão dos porquês de cada um dos métodos operacionais entre números “quebrados”.

Primeiramente, a adição não admite que se efetue “junções” entre partes de tamanhos diferentes. É o problema com que nos defrontamos quando estamos diante de uma adição como 1/2 + 1/3, por exemplo. Ora, se não é possível adicionar esses valores, o que fazer então? A solução é dividir os inteiros referência novamente de tal forma que as partes dessa nova divisão contenha as partes de interesse, ou seja, 1/2 e 1/3. Assim, devemos ter o seguinte:

Note que agora os inteiros referência estão divididos em seis partes cada um. As partes da nova divisão contêm as partes que nos interessavam: onde tínhamos1/2, agora temos 3/6 e, onde tínhamos 1/3, agora temos 2/6. É importante observar, ainda, que 1/2 = 3/6 e 1/3 = 2/6. Sendo assim, efetuar a adição 1/2 + 1/3 é o mesmo que efetuar a adição 3/6 + 2/6, com a diferença de que a primeira não é possível ser efetuada e a segunda, sim, porque se trata de uma adição entre partes de tamanhos iguais. Para se efetuar a subtração desses valores, procedemos da mesma forma, já que a subtração também não admite que se opere com partes de tamanhos diferentes. Assim, teríamos 3/6 – 2/6 = 1/6.

A regra para obtenção de soma e subtração entre frações enuncia que se deva proceder de acordo com os seguintes passos:

1)      Obter o mínimo múltiplo comum entre os denominadores:

m.m.c.(2, 3) = 6 (novo número de partes em que o inteiro deve ser dividido para que as frações tenham o mesmo “tamanho”).

            2) Dividir o m.m.c. encontrado pelo denominador e multiplicar o resultado pelo numerador para efetuar os devidos ajustes nas frações entre as quais a soma ou a subtração não era possível.

Multiplicação

O significado da multiplicação consiste em somar determinado valor com ele mesmo um determinado número de vezes. Assim, se multiplicarmos 3 por 6, por exemplo, teremos 18 como resultado, pois 6 + 6 + 6 = 18. Uma situação prática que pode ilustrar bem isso pode ser uma em que temos, por exemplo, 3 cestos onde devemos colocar 6 chocolates em cada um. No total, devemos ter 18 chocolates.

Mas como seria se precisássemos multiplicar 2/3 por 4/5, por exemplo? Bem, devemos nos lembrar, primeiramente, que o significado da operação não se perde. Assim, imaginando uma situação prática que mantenha fidelidade ao significado da operação, podemos considerar que temos uma parte de chocolate que deve ser distribuída em partes iguais às partes de um cesto, da mesma forma como fizemos anteriormente. Ilustrando a situação, teríamos o seguinte:

Para preenchermos todo o cesto com as partes consideradas (2/3) do chocolate, devemos dividí-lo em outras cinco partes iguais de forma que a fração considerada do chocolate possa ser distribuída igualmente entre todas as partes do cesto. Assim, teremos a mesma fração de chocolate representada por 10/15 (lembre-se de que 10/15 = 2/3). O chocolate ficará da seguinte maneira:

No final, deve-se distribuir as partes destacadas por hachura, uma em cada parte do cesto. A figura a seguir ilustra o resultado.

A quantidade de vezes que pretendemos somar a fração 2/15 é 4. Assim, teremos a soma 2/15 + 2/15 + 2/15 + 2/15 = 8/15, de onde concluímos que (2/3).(4/5) = 8/15. A regra geral que orienta sobre como se deve proceder em multiplicações entre frações enuncia que, dadas duas frações a/b e c/d (com b e d diferentes de zero), obtém-se o produto entre elas de acordo com a seguinte igualdade: (a/b).(c/d) = (a.c)/(b.d).

Divisão

Quanto à divisão, podemos dispor de um dispositivo algébrico bastante simples, levando-se em consideração uma importante propriedade da divisão: a de que o produto entre o quociente e o divisor é o dividendo (no caso de uma divisão exata). Assim, na conta 18 dividido por 6, por exemplo, obtemos o quociente 3 (18 : 6 = 3) e, se fizermos 3 vezes 6, obtemos 18.

De acordo com essa idéia, como efetuar a divisão entre 3/4 e2/5, por exemplo? Se o significado de uma operação não se perde, o mesmo acontece com suas propriedades. Logo, chamando de x o resultado da divisão a pouco proposta, teremos, em termos algébricos, a seguinte sentença: (2/4) : (2/5) = x. Conforme foi esclarecido no parágrafo anterior com relação à propriedade da divisão, sabemos que a seguinte sentença decorre da anterior: (2/5) . x = (3/4). Para “isolar” o x na sentença anterior, devemos multiplicar ambos os membros da sentença por (5/2) (inverso de 2/5), de onde se obtém (5/2).(2/5).x = (3/4).(5/2), ou simplesmente x = (3/4).(5/2), de onde se obtém x = 15/8. Assim, pode-se enunciar a regra de que, para encontrar o resultado de uma divisão entre duas frações, basta manter a primeira e multiplicá-la pelo inverso da segunda.

Conclusão

Ainda que as regras de cálculo soem frequentemente como mera chateação acadêmica, na realidade elas existem para facilitar de modo absolutamente efetivo a operação entre determinadas quantidades. Nos chamados “rincões acadêmicos”, costuma-se dizer: “a aprendizagem é como uma digestão: primeiro, é necessário engolir, depois, se digere”. Eu, por outro lado, acredito piamente em mais ainda: que o bom aprendizado deve estar subordinado a um processo de ruminação, em que o produto fica mais bem elaborado cada vez que se tem a oportunidade de digerir o conteúdo novamente.

O jogo de xadrez

Conta-se que existia, em certa região da Índia, há muito tempo atrás, uma província de hábitos beligerantes chamada Taligana, cujo rei se chamava Iadava. Certa vez, atendendo a uma de suas demandas de guerra, seu único filho foi enviado a uma campanha e, como é comum aos destemidos guerreiros no cumprimento de seu dever marcial, sofreu baixa. Isso determinou que o rei de Taligana se precipitasse em profundíssima depressão.

Após algum tempo, apareceu um hindu, súdito do reino de Iadava, que se anunciara como alguém que traria a cura para a tristeza do soberano de sua pátria. Esse homem, cujo nome era Lahur Sessa, trazia, na verdade, um jogo com traços muito próximos do que hoje chamamos de xadrez (na verdade, apenas algumas peças e alguns movimentos se diferenciavam do jogo que conhecemos hoje por xadrez).

De fato, o jogo de Sessa constituiu entretenimento tão eficiente à restituição emocional de Iadava, que o soberano se sentiu imensamente inclinado a retribuir-lhe da maneira como Sessa o desejasse. Esse, explicando ao rei que qualquer coisa além da satisfação de seu governante seria empenho supérfluo, foi “reverentemente” desdenhado pelo monarca.

Assim, Sessa acabou sucumbindo, para o bem de sua reputação de bom súdito, à sugestão do rei: pediu como paga de sua “façanha” uma porção de trigo que deveria ser acumulada colocando-se um grão na primeira casa do tabuleiro de seu jogo, dois grãos na segunda, quatro grãos na terceira, sempre dobrando na próxima casa a partida da casa anterior (lembrar que o tabuleiro de xadrez possui 64 casas). O rei confessou sua admiração pelo desapego material de Sessa, mas também foi franco ao lembrar que aquela porção constituiria uma saca tão insignificante, que provavelmente não fosse capaz de matar sequer a fome de um mendigo ao longo de alguns dias.

De qualquer modo, acabou expedindo ordens aos calculistas do reino para que o pedido de Sessa fosse prontamente atendido. Quando voltaram para informar o rei sobre a quantia de trigo que caberia ao engenhoso súdito, um deles começou a dizer atônito:

_ Senhor de Taligana, fizemos e refizemos várias vezes o cálculo do pagamento de Lahur Sessa e chegamos à conclusão de que jamais poderemos pagá-lo; a quantia de trigo que lhe cabe constituiria uma montanha de trigo que, tendo por base a província de Taligana, teria também uma altura cem vezes maior que a do Himalaia. Para cultivarmos essa quantidade de trigo, teríamos que dedicar cada espaço de nossa província, inclusive aquelas que abrigam as moradias de nossos habitantes. Mesmo assim, séculos não seriam suficientes para o alcance de nosso intento.

Iadava olhou aflito para Sessa sem saber o que lhe dizer, pois humilhava-o imensamente faltar com a palavra empenhada em qualquer circunstância. Não porque fosse honesto, mas principalmente porque preservava sua reputação a acicate de sua soberba.

Aqui, vale a pena transcrever fielmente as palavras de Sessa em resposta às súplicas silenciosas de seu soberano para que fosse perdoado, conforme consta na obra O Homem que Calculava, de Malba Tahan:

_ “Meditai, ó rei, sobre a grande verdade que os brâmanes prudentes tantas vezes repetem: Os homens mais avisados iludem-se, não só diante da aparência enganadora dos números, mas também com a falsa modéstia dos ambiciosos. Infeliz daquele que toma sobre os ombros o compromisso de honra por uma dívida cuja grandeza não pode avaliar com a tábua de cálculo de sua própria argúcia. Mais avisado é o que muito pondera e pouco promete! Após ligeira pausa, acrescentou: _ Menos aprendemos com a ciência vã dos brâmanes do que com a experiência direta da vida e as suas lições de todo o dia, a toda hora desdenhadas! O homem que mais vive, mais sujeito está às inquietações morais, mesmo que não as queira. Achar-se-á ora triste ora alegre; hoje fervoroso, amanhã tíbio; já ativo, já preguiçoso; a compostura alternará com a leviandade. Só o verdadeiro sábio, instruído nas regras espirituais eleva-se acima dessas vicissitudes, paira por sobre todas essas alternativas”.

As palavras de Sessa remeteram o soberano a profunda reflexão. Iadava nomeou Sessa como seu primeiro-vizir e, enquanto o inventor do jogo de xadrez entretinha o rei, aconselhava-o sobre importantes decisões relacionadas à província, seguindo assim pelo resto de sua vida para o regozijo de seu povo e glória de sua pátria.

O homem da antiguidade e o surgimento da geometria



A imagem certamente nos faz refletir: se
o desenvolvimento tecnológico
depende da matemática, como prescindir
dela na vida que cultivamos nos dias de hoje?

             
        Certa vez, estava dando aula em um dos primeiros anos do ensino médio sobre inequações na forma de produto e um aluno me perguntou qual seria a utilidade daquilo. Na hora, decidi responder de uma forma mais abrangente do que responderia caso desse uma aplicação daquela matéria em particular – resolvi falar da importância da matemática em si como ferramenta fundamental da revolução do modo de vida dos seres humanos desde épocas praticamente imemoriáveis. Tema de uma pretensão sem tamanho, mas resolvi falar do que sabia.

Para começar, perguntei o seguinte: “Quais foram e onde surgiram as maiores civilizações da antiguidade?”. Silêncio na sala de aula. Então, respondi: “Quais seriam algumas das principais civilizações da antiguidade? Não seriam a egípcia, babilônia, hindu etc.? Muito bem. Agora me digam onde surgiram esses povos.”. Como o clima de dúvida já havia se dissipado com a “dica” sobre quais seriam as grandes civilizações da antiguidade a que me referia, bastou associá-las a seu habitat, tema clássico das aulas de História: “Egito surgiu às margens do Rio Nilo, a Babilônia, às margens dos rios Tigre e Eufrates, em uma região chamada Mesopotâmia (que, na língua local da época significava “entre rios”) e os hindus, às margens dos rios Indo e Ganges”.

Opa, espere aí! Todos eles surgiram às margens de algum rio? Não parece haver algo em comum entre todos esses povos? De fato, a manutenção da vida demanda água disponível. Mas, nesse caso, esses rios oferecem uma reserva abundante em lugares onde o clima é desértico, onde a escassez de recursos para a manutenção da vida é um bem precioso. E, justamente por ali, onde a terra é fértil e a vegetação é rica devido às cheias periódicas dos rios, o homem começa a cultivar um modo de vida sem precedentes e que perpetuamos até os dias de hoje: o modo de vida sedentário. As pessoas, confinadas sempre em um mesmo lugar e procriando mais e mais, passam a viver em grupos cada vez maiores, maneira como advêm os primeiros traços do que hoje conhecemos por sociedade. Com os grupos crescendo indiscriminadamente, mesmo onde havia abundância, agora começa a haver escassez e surge, então, a noção de propriedade. Com isso, surge também a necessidade de demarcar a terra para separar os diferentes terrenos de que umas pessoas podem dispor e outras não.

Qual o significado de geografia, mesmo? Perguntei. Ah, “geo” significa terra e “grafia”, escrita. Logo, professor, geografia significa “descrição da terra”, eles diriam. Ah, é isso mesmo. E geometria? Silêncio tétrico. Bom – continuei – o prefixo “geo” continua sendo de terra e “metria” é medida. Assim, geometria significa “medida da terra”. Oh, manifestaram-se os alunos em coro, demoradamente. Acontece que os rios citados sofriam cheias periódicas e inundavam suas margens, enchendo-as de sedimentos e “apagando” as demarcações. Assim, o homem aprimorou suas técnicas de medição e demarcação, o que precipitou o desenvolvimento da geometria até os dias de hoje. Com esse desenvolvimento, quantas coisas ela não permitiu que a humanidade desenvolvesse? Pense nas pirâmides, no Colosso de Rhodes, farol de Alexandria, nas polis gregas, as grandes catedrais, torre Eiffel, nos meios de transporte, no seu computador, no seu celular, nos automóveis, nos aprimoramentos da engenharia civil, que permite que você more em lugar bem melhor que as cavernas e as cabanas de sapê (alguma dúvida sobre essas duas últimas alternativas?). Pitágoras já citava: “Tudo é número”.


Egípcios da Antiguidade que desempenhavam
a função de demarcar o terreno. Como utilizavam
cordas para auxiliar na tarefa,
eram chamados "estiradores de corda".

Assim, espero que tenha ficado claro porque a matemática acaba tornando elitizadas as pessoas que detêm algum conhecimento sobre ela e de que forma ela pode parecer mais atraente. Na verdade, se fiz muito, consegui apenas esboçar o cenário do início do atendimento às necessidades práticas do cotidiano com a matemática. Agradeço ao Mellone pela pergunta que acabou tornando o assunto pertinente; a oportunidade me permitiu falar sobre uma variedade da matemática que os alunos certamente não conheciam e acabou me inspirando para escrever esse texto. Agora  torço francamente para que eles passem a procurar maiores esclarecimentos sobre o assunto e se aprofundem nesse mundo mágico da descrição das coisas naturais.

O homem pré-histórico e o surgimento da matemática



Espécies ancestrais dos seres humanos e o Homo sapiens sapiens.



A pré-história é essencialmente caracterizada por um período em que a escrita ainda não havia sido desenvolvida. E, por essa razão, remontá-la de maneira acurada é uma tarefa muito difícil. O único meio de se reconstituir o modo de vida dos homens dessa época é através de artefatos arqueológicos, documentos rudimentares por excelência, como fósseis, ferramentas e pinturas (chamadas rupestres) que eles produziam no interior das cavernas em que se abrigavam (se houvesse alguma). Ainda assim, as informações que se adquirem por esses meios diz mais ao modo de vida dos nossos ancestrais do que qualquer outro aspecto de sua existência. O certo é que, por serem nômades que levavam um meio de vida absolutamente subsistente, não encontravam meios nem tampouco motivação para desenvolver ciência alguma, inclusive a matemática.

Pinturas rupestres



Concepção artística de um homem pré-histórico
confeccionando uma ferramenta.

Existem várias vertentes no campo da história da matemática quando se trata de lançar conjecturas a respeito de sua origem. Não se pode saber ao certo em que episódio de seu desenvolvimento o homem começa a aprimorar a noção de número; talvez os contrastes, e não as semelhanças, que ele verificava à sua volta comecem a estimular este senso: a diferença entre o formato arredondado do disco lunar e o formato longilíneo de um pinheiro, a diferença entre uma ovelha e várias ovelhas, a diferença de tamanho entre um rato e um elefante etc. E, talvez, em um momento posterior, após verificadas e assimiladas as diferenças em termos de quantidades, forma e tamanho, as igualdades começassem a se tornar mais notáveis.



Pintura rupestre mostrando uma cena de caça.

Mesmo Aristóteles, um dos primeiros historiadores do mundo ocidental, não ousou dar uma explicação para sua origem que datasse antes da época dos egípcios, civilização a que se costuma atribuir a autoria dos documentos escritos mais antigos, mas atreveu-se a admitir de modo especulativo que o sentido de número tenha recebido contribuição importante de rituais religiosos, pois eles eram reproduzidos dramaturgicamente, e  a ordem em que atos se sucediam terminou por estimular de maneira determinante a criação de um sistema de numeração. É a defesa da invenção do sistema numérico de caráter ordinal como precursor do sistema numérico de cunho cardinal.

Encenação de ritual pretensamente pré-histórico. De qualquer forma, quer a imagem
se refira a algum ritual de tribo africana ou não, é inegável que essas
comunidades ainda guardam com a pré-história uma enorme semelhança.

Outra vertente que cuida das origens da matemática defende que a noção de número surgiu no ser humano devido a uma necessidade sistemática de se conceber o mundo à sua volta em termos de quantidades, principalmente. Um aspecto importante da percepção humana que o homem deve ter desenvolvido para se adaptar, qualquer que tenha sido a época de seu surgimento, foi a noção sobre, por exemplo, se os recursos que lhe garantiam a subsistência, tais como água e alimentos, seriam capazes de suprir suas necessidades enquanto não tivesse condições de renovar suas reservas. Isso era especialmente necessário em épocas de muita escassez, como no inverno, por exemplo. Isso poderia se agravar de várias maneiras dependendo da região que o indivíduo eventualmente habitasse.

O bullying já existia, minha gente!

A percepção do caráter sazonal das épocas de maior e menor escassez permitiu que o homem elaborasse meios de prever os períodos mais críticos e os mais frutíferos no tocante às caçadas e às colheitas. Observando os astros celestes, o homem percebe, ainda, que alguns fenômenos astronômicos estavam relacionados a essas épocas. A medição cada vez mais aprimorada desses períodos acaba precipitando o advento dos calendários. 

E foi a necessidade de medir isso e aquilo, aqui e ali, no seu cotidiano, que o homem começou a necessitar de uma sistematização da lida com quantidades e comparações. E o mais importante: a idéia de número e forma, faculdade indissociável do homem, foi o que constituiu os primórdios da matemática, ferramenta fundamental para a sua adaptação no mundo em que surgiu, sofisticando cada vez mais sua existência até os dias de hoje.


Osso de Ishango, datado de cerca de 35.000 a.C. Consiste

de um fêmur de loba que, por falta de um sistema de numeração,

foi marcado, muito provavelmente, para se realizar alguma contagem.